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Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler (GGT) und das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) von zwei oder mehr Zahlen. Sehen Sie Schritt-für-Schritt-Lösungen mit dem euklidischen Algorithmus und Primfaktorzerlegung.
Trennen Sie die Zahlen durch Kommas, Leerzeichen oder Zeilenumbrüche. Nur positive ganze Zahlen werden akzeptiert.
Please enter at least two positive integers
Dieser Rechner liefert präzise GGT- und KGV-Berechnungen für Bildungs- und praktische Zwecke.
Die Ergebnisse werden mithilfe mathematischer Standardalgorithmen berechnet, einschließlich der euklidischen Methode und Primfaktorzerlegung.
Der größte gemeinsame Teiler (GGT), auch als größter gemeinsamer Faktor bekannt, ist die größte positive ganze Zahl, die zwei oder mehr Zahlen ohne Rest teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (KGV) ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch alle gegebenen Zahlen teilbar ist. Diese Konzepte sind grundlegend in der Mathematik und haben praktische Anwendungen beim Kürzen von Brüchen, beim Finden gemeinsamer Nenner und beim Lösen von Problemen mit periodischen Ereignissen.
Es gibt zwei Hauptmethoden zur Berechnung von GGT und KGV:
Euklidischer Algorithmus: Eine effiziente Methode, die wiederholt den Divisionsalgorithmus anwendet. Für GGT(a,b) teile a durch b, dann teile b durch den Rest und fahre fort, bis der Rest 0 ist. Der letzte von Null verschiedene Rest ist der GGT.
Primfaktorzerlegungsmethode: Zerlege jede Zahl in Primfaktoren. Für den GGT multipliziere die gemeinsamen Primfaktoren mit den niedrigsten Exponenten. Für das KGV multipliziere alle Primfaktoren mit den höchsten Exponenten.
GGT(a, b) = GGT(b, a mod b) bis Rest = 0Beispiel: GGT(48, 18) = GGT(18, 12) = GGT(12, 6) = GGT(6, 0) = 6
KGV(a, b) = |a x b| / GGT(a, b)Beispiel: KGV(48, 18) = (48 x 18) / 6 = 864 / 6 = 144
Der GGT (größte gemeinsame Teiler) ist die größte Zahl, die alle gegebenen Zahlen gleichmäßig teilt. Das KGV (kleinste gemeinsame Vielfache) ist die kleinste Zahl, in die alle gegebenen Zahlen gleichmäßig passen. Zum Beispiel für 12 und 18: GGT = 6 (beide sind durch 6 teilbar) und KGV = 36 (kleinste durch 12 und 18 teilbare Zahl).
Zahlen sind teilerfremd (oder relativ prim), wenn ihr GGT gleich 1 ist, was bedeutet, dass sie außer 1 keine gemeinsamen Faktoren haben. Zum Beispiel sind 8 und 15 teilerfremd, weil GGT(8, 15) = 1, obwohl keine von ihnen eine Primzahl ist.
Um einen Bruch zu kürzen, teilen Sie sowohl Zähler als auch Nenner durch ihren GGT. Um beispielsweise 48/18 zu kürzen, finden Sie GGT(48, 18) = 6, dann teilen: 48/6 = 8 und 18/6 = 3, was den gekürzten Bruch 8/3 ergibt.
Das KGV wird verwendet, um gemeinsame Nenner zum Addieren von Brüchen zu finden, wiederkehrende Ereignisse zu planen (wie wenn zwei Busse mit unterschiedlichen Fahrplänen zusammen ankommen) und bei Problemen mit Zyklen oder Perioden.
Der euklidische Algorithmus ist eine effiziente Methode, um den GGT von zwei Zahlen zu finden. Er funktioniert, indem die größere Zahl wiederholt durch den Rest ersetzt wird, wenn die größere durch die kleinere geteilt wird, bis eine Zahl 0 wird. Die andere Zahl zu diesem Zeitpunkt ist der GGT.
Ja! Dieser Rechner verarbeitet mehrere Zahlen. Für den GGT finden Sie den GGT der ersten beiden Zahlen, dann finden Sie den GGT dieses Ergebnisses mit der dritten Zahl, und so weiter. Der gleiche Ansatz funktioniert für das KGV.
Primfaktorzerlegung bedeutet, eine Zahl als Produkt von Primzahlen auszudrücken. Zum Beispiel 48 = 2^4 x 3 und 18 = 2 x 3^2. Dies hilft, den GGT (mit den niedrigsten Exponenten gemeinsamer Primzahlen) und das KGV (mit den höchsten Exponenten aller Primzahlen) zu finden.
Jede ganze Zahl teilt 0 (da 0 = 0 x beliebige ganze Zahl), daher sind alle Faktoren von 'a' auch gemeinsame Faktoren mit 0. Daher ist der größte gemeinsame Teiler jeder Zahl 'a' und 0 'a' selbst.